सबसे पहले, हमें दिए गए स्थिति सदिशों का उपयोग करके सदिश {AB} और {CD} ज्ञात करने की आवश्यकता है। सदिश {AB} को बिंदु B के स्थिति सदिश से बिंदु A के स्थिति सदिश को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है, और इसी तरह {CD} के लिए भी।

सबसे पहले, हमें दिए गए स्थिति सदिशों का उपयोग करके सदिश {AB} और {CD} ज्ञात करने की आवश्यकता है। सदिश {AB} को बिंदु B के स्थिति सदिश से बिंदु A के स्थिति सदिश को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है, और इसी तरह {CD} के लिए भी।

अब हम दिए गए स्थिति सदिशों को प्रतिस्थापित करते हैं और सदिश {AB} और {CD} की गणना करते हैं।

अब हम दिए गए स्थिति सदिशों को प्रतिस्थापित करते हैं और सदिश {AB} और {CD} की गणना करते हैं।

दो सदिशों {AB} और {CD} के बीच का कोण θ ज्ञात करने के लिए, हम अदिश गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हैं।

दो सदिशों {AB} और {CD} के बीच का कोण θ ज्ञात करने के लिए, हम अदिश गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हैं।

अब हम {AB} · {CD} के अदिश गुणनफल और सदिशों {AB} और {CD} के परिमाण की गणना करते हैं।

अब हम अदिश गुणनफल और परिमाण के मानों को कोण सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। cos θ = -1 का अर्थ है कि θ = π रेडियन या 180^ ।

अब हम अदिश गुणनफल और परिमाण के मानों को कोण सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। cos θ = -1 का अर्थ है कि θ = π रेडियन या 180^ ।

चूंकि {CD} = -2 {AB} , सदिश {CD} सदिश {AB} का एक अदिश गुणज है। इसका मतलब है कि सदिश {AB} और {CD} समानांतर हैं। चूंकि वे समानांतर हैं, इसलिए रेखाएँ AB और CD संरेख हैं।

चूंकि {CD} = -2 {AB} , सदिश {CD} सदिश {AB} का एक अदिश गुणज है। इसका मतलब है कि सदिश {AB} और {CD} समानांतर हैं। चूंकि वे समानांतर हैं, इसलिए रेखाएँ AB और CD संरेख हैं।

यदि बिंदुओं A, B, C और D, के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ , $2\hat{i} + 5\hat{j}$ , $3\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\hat{i} - 6\hat{j} - \hat{k}$ है, तो सरल रेखाओं AB तथा CD के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। निगमन कीजिए कि AB और CD संरेख हैं।

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Step-by-Step Solution

Step 1: स्थिति सदिशों का उपयोग करके सदिश AB और CD ज्ञात कीजिए

सबसे पहले, हमें दिए गए स्थिति सदिशों का उपयोग करके सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{CD}$ ज्ञात करने की आवश्यकता है। सदिश $\vec{AB}$ को बिंदु $B$ के स्थिति सदिश से बिंदु $A$ के स्थिति सदिश को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है, और इसी तरह $\vec{CD}$ के लिए भी।

Step 2: सदिश AB और CD की गणना

अब हम दिए गए स्थिति सदिशों को प्रतिस्थापित करते हैं और सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{CD}$ की गणना करते हैं।

Step 3: सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

दो सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{CD}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए, हम अदिश गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हैं।

Step 4: अदिश गुणनफल और परिमाण की गणना

अब हम $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$ के अदिश गुणनफल और सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{CD}$ के परिमाण की गणना करते हैं।

Step 5: कोण की गणना

अब हम अदिश गुणनफल और परिमाण के मानों को कोण सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। $\cos \theta = -1$ का अर्थ है कि $\theta = \pi$ रेडियन या $180^\circ$ ।

Step 6: संरेखता का निगमन

चूंकि $\vec{CD} = -2\vec{AB}$ , सदिश $\vec{CD}$ सदिश $\vec{AB}$ का एक अदिश गुणज है। इसका मतलब है कि सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{CD}$ समानांतर हैं। चूंकि वे समानांतर हैं, इसलिए रेखाएँ AB और CD संरेख हैं।