हमें दिया गया है कि दो सदिशों {a} और {b} का अदिश गुणनफल 0 है। अदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार, {a}· {b} = | {a}|| {b}|cosθ , जहाँ θ सदिशों {a} और {b} के बीच का कोण है।

हमें दिया गया है कि दो सदिशों {a} और {b} का अदिश गुणनफल 0 है। अदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार, {a}· {b} = | {a}|| {b}|cosθ , जहाँ θ सदिशों {a} और {b} के बीच का कोण है।

यदि {a}· {b} = 0 , तो इसका अर्थ है कि | {a}|| {b}|cosθ = 0 । यह तभी संभव है जब | {a}|=0 या | {b}|=0 या cosθ = 0 । यदि cosθ = 0 , तो θ = 90^ या θ = (π)/(2) रेडियन। इसका मतलब है कि सदिश {a} और {b} एक दूसरे के लंबवत हैं।

यदि {a}· {b} = 0 , तो इसका अर्थ है कि | {a}|| {b}|cosθ = 0 । यह तभी संभव है जब | {a}|=0 या | {b}|=0 या cosθ = 0 । यदि cosθ = 0 , तो θ = 90^ या θ = (π)/(2) रेडियन। इसका मतलब है कि सदिश {a} और {b} एक दूसरे के लंबवत हैं।

हमें यह भी दिया गया है कि दो सदिशों {a} और {b} का सदिश गुणनफल {0} है। सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार, {a}× {b} = | {a}|| {b}|sinθ {n} , जहाँ {n} एक इकाई सदिश है जो {a} और {b} दोनों के लंबवत है।

हमें यह भी दिया गया है कि दो सदिशों {a} और {b} का सदिश गुणनफल {0} है। सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार, {a}× {b} = | {a}|| {b}|sinθ {n} , जहाँ {n} एक इकाई सदिश है जो {a} और {b} दोनों के लंबवत है।

यदि {a}× {b} = {0} , तो इसका अर्थ है कि | {a}|| {b}|sinθ {n} = {0} । यह तभी संभव है जब | {a}|=0 या | {b}|=0 या sinθ = 0 । यदि sinθ = 0 , तो θ = 0^ या θ = 180^ या θ = π रेडियन। इसका मतलब है कि सदिश {a} और {b} एक दूसरे के समानांतर हैं।

यदि {a}× {b} = {0} , तो इसका अर्थ है कि | {a}|| {b}|sinθ {n} = {0} । यह तभी संभव है जब | {a}|=0 या | {b}|=0 या sinθ = 0 । यदि sinθ = 0 , तो θ = 0^ या θ = 180^ या θ = π रेडियन। इसका मतलब है कि सदिश {a} और {b} एक दूसरे के समानांतर हैं।

हमने देखा कि {a}· {b}=0 का अर्थ है कि {a} और {b} लंबवत हैं (यदि वे अशून्य हैं), या उनमें से कोई एक शून्य सदिश है। हमने यह भी देखा कि {a}× {b}= {0} का अर्थ है कि {a} और {b} समानांतर हैं (यदि वे अशून्य हैं), या उनमें से कोई एक शून्य सदिश है।

हमने देखा कि {a}· {b}=0 का अर्थ है कि {a} और {b} लंबवत हैं (यदि वे अशून्य हैं), या उनमें से कोई एक शून्य सदिश है। हमने यह भी देखा कि {a}× {b}= {0} का अर्थ है कि {a} और {b} समानांतर हैं (यदि वे अशून्य हैं), या उनमें से कोई एक शून्य सदिश है।

यदि {a} और {b} दोनों अशून्य सदिश होते, तो {a}· {b}=0 का अर्थ होता कि वे लंबवत हैं ( θ = 90^ ) और {a}× {b}= {0} का अर्थ होता कि वे समानांतर हैं ( θ = 0^ या 180^ )। यह एक विरोधाभास है, क्योंकि दो अशून्य सदिश एक साथ लंबवत और समानांतर नहीं हो सकते। इसलिए, यह निष्कर्ष निकलता है कि सदिश {a} या सदिश {b} में से कम से कम एक शून्य सदिश होना चाहिए।

यदि {a} और {b} दोनों अशून्य सदिश होते, तो {a}· {b}=0 का अर्थ होता कि वे लंबवत हैं ( θ = 90^ ) और {a}× {b}= {0} का अर्थ होता कि वे समानांतर हैं ( θ = 0^ या 180^ )। यह एक विरोधाभास है, क्योंकि दो अशून्य सदिश एक साथ लंबवत और समानांतर नहीं हो सकते। इसलिए, यह निष्कर्ष निकलता है कि सदिश {a} या सदिश {b} में से कम से कम एक शून्य सदिश होना चाहिए।

दिया हुआ है कि $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ और $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$ । सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

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Step-by-Step Solution

Step 1: अदिश गुणनफल का विश्लेषण

हमें दिया गया है कि दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का अदिश गुणनफल $0$ है। अदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार, $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ , जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।

Step 2: अदिश गुणनफल से निष्कर्ष

यदि $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ , तो इसका अर्थ है कि $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 0$ । यह तभी संभव है जब $|\vec{a}|=0$ या $|\vec{b}|=0$ या $\cos\theta = 0$ । यदि $\cos\theta = 0$ , तो $\theta = 90^\circ$ या $\theta = \frac{\pi}{2}$ रेडियन। इसका मतलब है कि सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक दूसरे के लंबवत हैं।

Step 3: सदिश गुणनफल का विश्लेषण

हमें यह भी दिया गया है कि दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का सदिश गुणनफल $\vec{0}$ है। सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार, $\vec{a}\times\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \hat{n}$ , जहाँ $\hat{n}$ एक इकाई सदिश है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है।

Step 4: सदिश गुणनफल से निष्कर्ष

यदि $\vec{a}\times\vec{b} = \vec{0}$ , तो इसका अर्थ है कि $|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \hat{n} = \vec{0}$ । यह तभी संभव है जब $|\vec{a}|=0$ या $|\vec{b}|=0$ या $\sin\theta = 0$ । यदि $\sin\theta = 0$ , तो $\theta = 0^\circ$ या $\theta = 180^\circ$ या $\theta = \pi$ रेडियन। इसका मतलब है कि सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक दूसरे के समानांतर हैं।

Step 5: दोनों शर्तों का संयोजन

हमने देखा कि $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ का अर्थ है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत हैं (यदि वे अशून्य हैं), या उनमें से कोई एक शून्य सदिश है। हमने यह भी देखा कि $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$ का अर्थ है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समानांतर हैं (यदि वे अशून्य हैं), या उनमें से कोई एक शून्य सदिश है।

Step 6: अंतिम निष्कर्ष

यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों अशून्य सदिश होते, तो $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ का अर्थ होता कि वे लंबवत हैं ( $\theta = 90^\circ$ ) और $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$ का अर्थ होता कि वे समानांतर हैं ( $\theta = 0^\circ$ या $180^\circ$ )। यह एक विरोधाभास है, क्योंकि दो अशून्य सदिश एक साथ लंबवत और समानांतर नहीं हो सकते। इसलिए, यह निष्कर्ष निकलता है कि सदिश $\vec{a}$ या सदिश $\vec{b}$ में से कम से कम एक शून्य सदिश होना चाहिए।