दिया हुआ है कि $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ और $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$ । सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

चरण 1: अदिश गुणनफल का विश्लेषण

हमें दिया गया है कि दो सदिशों $$\vec{a}$$ और $$\vec{b}$$ का अदिश गुणनफल $$0$$ है। अदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार, $$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$ , जहाँ $$\theta$$ सदिशों $$\vec{a}$$ और $$\vec{b}$$ के बीच का कोण है।

चरण 2: अदिश गुणनफल से निष्कर्ष

यदि $$\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$$ , तो इसका अर्थ है कि $$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 0$$ । यह तभी संभव है जब $$|\vec{a}|=0$$ या $$|\vec{b}|=0$$ या $$\cos\theta = 0$$ । यदि $$\cos\theta = 0$$ , तो $$\theta = 90^\circ$$ या $$\theta = \frac{\pi}{2}$$ रेडियन। इसका मतलब है कि सदिश $$\vec{a}$$ और $$\vec{b}$$ एक दूसरे के लंबवत हैं।

चरण 3: सदिश गुणनफल का विश्लेषण

हमें यह भी दिया गया है कि दो सदिशों $$\vec{a}$$ और $$\vec{b}$$ का सदिश गुणनफल $$\vec{0}$$ है। सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार, $$\vec{a}\times\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \hat{n}$$ , जहाँ $$\hat{n}$$ एक इकाई सदिश है जो $$\vec{a}$$ और $$\vec{b}$$ दोनों के लंबवत है।

चरण 4: सदिश गुणनफल से निष्कर्ष

यदि $$\vec{a}\times\vec{b} = \vec{0}$$ , तो इसका अर्थ है कि $$|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \hat{n} = \vec{0}$$ । यह तभी संभव है जब $$|\vec{a}|=0$$ या $$|\vec{b}|=0$$ या $$\sin\theta = 0$$ । यदि $$\sin\theta = 0$$ , तो $$\theta = 0^\circ$$ या $$\theta = 180^\circ$$ या $$\theta = \pi$$ रेडियन। इसका मतलब है कि सदिश $$\vec{a}$$ और $$\vec{b}$$ एक दूसरे के समानांतर हैं।

चरण 5: दोनों शर्तों का संयोजन

हमने देखा कि $$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$$ का अर्थ है कि $$\vec{a}$$ और $$\vec{b}$$ लंबवत हैं (यदि वे अशून्य हैं), या उनमें से कोई एक शून्य सदिश है। हमने यह भी देखा कि $$\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$$ का अर्थ है कि $$\vec{a}$$ और $$\vec{b}$$ समानांतर हैं (यदि वे अशून्य हैं), या उनमें से कोई एक शून्य सदिश है।

चरण 6: अंतिम निष्कर्ष

यदि $$\vec{a}$$ और $$\vec{b}$$ दोनों अशून्य सदिश होते, तो $$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$$ का अर्थ होता कि वे लंबवत हैं ( $$\theta = 90^\circ$$ ) और $$\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$$ का अर्थ होता कि वे समानांतर हैं ( $$\theta = 0^\circ$$ या $$180^\circ$$ )। यह एक विरोधाभास है, क्योंकि दो अशून्य सदिश एक साथ लंबवत और समानांतर नहीं हो सकते। इसलिए, यह निष्कर्ष निकलता है कि सदिश $$\vec{a}$$ या सदिश $$\vec{b}$$ में से कम से कम एक शून्य सदिश होना चाहिए।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• यदि दो सदिशों a और b के बीच का कोण θ है तो | a· b|=| a× b| जब θ बराबर है: (A) 0 (B) (π)/(4) (C) (π)/(2) (D) π
• यदि बिंदुओं A, B, C और D, के स्थिति सदिश क्रमशः i + j + k, 2 i + 5 j, 3 i + 2 j - 3 k और i - 6 j - k है, तो सरल रेखाओं AB तथा CD के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। निगम
• यदि a = b + c, तब क्या यह सत्य है कि | a|=| b|+| c|? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
• दर्शाइए कि दो शून्येतर सदिशों a और b के लिए | a| b+| b| a, | a| b-| b| a पर लंब है।
• सदिश i + j पर सदिश i - j का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
• यदि दो सदिश a और b इस प्रकार हैं कि | a|=2, | b|=3 और a · b = 4 तो | a - b| ज्ञात कीजिए।
• यदि शून्येतर सदिश a का परिमाण 'a' है और एक शून्येतर अदिश है तो a एक मात्रक सदिश है यदि (A) = 1 (B) = -1 (C) a = | | (D) a = 1/| |
• दर्शाइए कि बिंदु A(2 i- j+ k), B( i-3 j-5 k), C(3 i-4 j-4 k) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

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