यदि दो सदिश a⃗\vec{a} और b⃗\vec{b} इस प्रकार हैं कि ∣a⃗∣=2|\vec{a}|=2, ∣b⃗∣=3|\vec{b}|=3 और a⃗⋅b⃗=4\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 तो ∣a⃗−b⃗∣|\vec{a} - \vec{b}| ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ∣a⃗−b⃗∣=5|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5}

चरण-दर-चरण हल

चरण 1: सदिश अंतर के परिमाण का वर्ग ज्ञात करना

दो सदिशों के अंतर के परिमाण का वर्ग ज्ञात करने के लिए, हम सदिश को स्वयं से अदिश गुणनफल करते हैं। यह सदिश बीजगणित का एक मूल गुण है।

चरण 2: अदिश गुणनफल का विस्तार करना

हम अदिश गुणनफल को बीजगणितीय रूप से विस्तारित करते हैं, जैसे हम सामान्य बीजगणित में करते हैं। अदिश गुणनफल वितरण नियम का पालन करता है।

चरण 3: पदों को सरल बनाना

हम जानते हैं कि a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣2\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 और b⃗⋅b⃗=∣b⃗∣2\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 । साथ ही, अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय होता है, इसलिए a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} । इन गुणों का उपयोग करके, हम समीकरण को सरल बनाते हैं।

चरण 4: दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना

अब हम दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: ∣a⃗∣=2|\vec{a}|=2 , ∣b⃗∣=3|\vec{b}|=3 और a⃗⋅b⃗=4\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 ।

चरण 5: गणना करना

हम प्रतिस्थापित किए गए मानों की गणना करते हैं। पहले वर्गों की गणना करें, फिर गुणा करें, और अंत में जोड़ और घटाव करें।

चरण 6: अंतिम मान ज्ञात करना

चूंकि हमने ∣a⃗−b⃗∣2|\vec{a} - \vec{b}|^2 का मान ज्ञात कर लिया है, अब हम ∣a⃗−b⃗∣|\vec{a} - \vec{b}| का मान ज्ञात करने के लिए वर्गमूल लेते हैं। परिमाण हमेशा धनात्मक होता है।

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