सबसे पहले, हम समाकल्य के हर का गुणनखंडन करते हैं। द्विघात व्यंजक 3x²+13x-10 को (3x-2)(x+5) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

सबसे पहले, हम समाकल्य के हर का गुणनखंडन करते हैं। द्विघात व्यंजक 3x²+13x-10 को (3x-2)(x+5) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

अब, हम समाकल्य को आंशिक भिन्नों में वियोजित करते हैं। हम (1)/((3x-2)(x+5)) को (A)/(3x-2) + (B)/(x+5) के रूप में लिखते हैं, जहाँ A और B स्थिरांक हैं।

अब, हम समाकल्य को आंशिक भिन्नों में वियोजित करते हैं। हम (1)/((3x-2)(x+5)) को (A)/(3x-2) + (B)/(x+5) के रूप में लिखते हैं, जहाँ A और B स्थिरांक हैं।

हम A और B के मान ज्ञात करने के लिए x के उपयुक्त मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। x = -5 रखने पर B = -(1)/(17) मिलता है, और x = (2)/(3) रखने पर A = (3)/(17) मिलता है।

हम A और B के मान ज्ञात करने के लिए x के उपयुक्त मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। x = -5 रखने पर B = -(1)/(17) मिलता है, और x = (2)/(3) रखने पर A = (3)/(17) मिलता है।

निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए। (ii) $\int \frac{dx}{3x^2+13x-10}$

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Step-by-Step Solution

Step 1: हर का गुणनखंडन करें

सबसे पहले, हम समाकल्य के हर का गुणनखंडन करते हैं। द्विघात व्यंजक $3x^2+13x-10$ को (3x-2)(x+5) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

Step 2: आंशिक भिन्नों में वियोजन

अब, हम समाकल्य को आंशिक भिन्नों में वियोजित करते हैं। हम $\frac{1}{(3x-2)(x+5)}$ को $\frac{A}{3x-2} + \frac{B}{x+5}$ के रूप में लिखते हैं, जहाँ $A$ और $B$ स्थिरांक हैं।

Step 3: $A$ और $B$ के मान ज्ञात करें

हम $A$ और $B$ के मान ज्ञात करने के लिए $x$ के उपयुक्त मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। $x = -5$ रखने पर $B = -\frac{1}{17}$ मिलता है, और $x = \frac{2}{3}$ रखने पर $A = \frac{3}{17}$ मिलता है।

Step 4: समाकल्य को पुनः लिखें

अब हम $A$ और $B$ के मानों को आंशिक भिन्न वियोजन में प्रतिस्थापित करते हैं और समाकल्य को पुनः लिखते हैं।

Step 5: समाकलन करें

हम प्रत्येक पद का समाकलन करते हैं। $\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \log|ax+b| + C$ सूत्र का उपयोग करके, हमें परिणाम मिलता है। अंत में, हम लघुगणक के गुणों का उपयोग करके व्यंजक को सरल बनाते हैं।