हम दिए गए समाकल को I मानते हैं। निश्चित समाकलनों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए, जो कहता है कि _0^a f(x) dx = _0^a f(a-x) dx , हम x को (π)/(2) - x से प्रतिस्थापित करेंगे।

हम दिए गए समाकल को I मानते हैं। निश्चित समाकलनों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए, जो कहता है कि _0^a f(x) dx = _0^a f(a-x) dx , हम x को (π)/(2) - x से प्रतिस्थापित करेंगे।

गुणधर्म लागू करने पर, हम cos² x को cos² (π)/(2) - x से प्रतिस्थापित करते हैं।

हम जानते हैं कि cos(π)/(2) - x = sin x । इसलिए, cos² (π)/(2) - x को sin² x के रूप में लिखा जा सकता है।

हम जानते हैं कि cos² x + sin² x = 1 । इस सर्वसमिका का उपयोग करके, समाकल सरल हो जाता है।

निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: निश्चित समाकलनों के गुणधर्म का उपयोग करना

हम दिए गए समाकल को $I$ मानते हैं। निश्चित समाकलनों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए, जो कहता है कि $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ , हम $x$ को $\frac{\pi}{2} - x$ से प्रतिस्थापित करेंगे।

Step 2: प्रतिस्थापन लागू करना

गुणधर्म लागू करने पर, हम $\cos^2 x$ को $\cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 3: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करना

हम जानते हैं कि $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ । इसलिए, $\cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ को $\sin^2 x$ के रूप में लिखा जा सकता है।

Step 4: समीकरणों को जोड़ना

अब हम समीकरण (1) और समीकरण (2) को जोड़ते हैं। इससे हमें $2I$ का मान प्राप्त होता है, जिसमें समाकल के अंदर $\cos^2 x + \sin^2 x$ होता है।

Step 5: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका और समाकलन का उपयोग करना

हम जानते हैं कि $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ । इस सर्वसमिका का उपयोग करके, समाकल सरल हो जाता है।

Step 6: समाकलन का मूल्यांकन करना

अब हम $1$ का समाकलन करते हैं, जो $x$ है, और ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 7: अंतिम मान ज्ञात करना

समाकलन का मूल्यांकन करने के बाद, हम $I$ के लिए हल करते हैं।