निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

चरण 1: निश्चित समाकलनों के गुणधर्म का उपयोग करना

हम दिए गए समाकल को $$I$$ मानते हैं। निश्चित समाकलनों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए, जो कहता है कि $$\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$$ , हम $$x$$ को $$\frac{\pi}{2} - x$$ से प्रतिस्थापित करेंगे।

चरण 2: प्रतिस्थापन लागू करना

गुणधर्म लागू करने पर, हम $$\cos^2 x$$ को $$\cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$$ से प्रतिस्थापित करते हैं।

चरण 3: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करना

हम जानते हैं कि $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$$ । इसलिए, $$\cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$$ को $$\sin^2 x$$ के रूप में लिखा जा सकता है।

चरण 4: समीकरणों को जोड़ना

अब हम समीकरण (1) और समीकरण (2) को जोड़ते हैं। इससे हमें $$2I$$ का मान प्राप्त होता है, जिसमें समाकल के अंदर $$\cos^2 x + \sin^2 x$$ होता है।

चरण 5: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका और समाकलन का उपयोग करना

हम जानते हैं कि $$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$ । इस सर्वसमिका का उपयोग करके, समाकल सरल हो जाता है।

चरण 6: समाकलन का मूल्यांकन करना

अब हम $$1$$ का समाकलन करते हैं, जो $$x$$ है, और ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं।

चरण 7: अंतिम मान ज्ञात करना

समाकलन का मूल्यांकन करने के बाद, हम $$I$$ के लिए हल करते हैं।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• ∫_0^((π)/(2)) √(sin) cos^5 d का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(2)) (sin x-cos x)/(1+sin x cos x) d x का मान ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(4)) log (1+tan x) d x का मान ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलन ∫_(π)/(6)^((π)/(4)) cosec x dx का मान ज्ञात कीजिए।
• निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए। (ii) ∫ (dx)/(3x²+13x-10)
• 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 31. (sin x)/((1+cos x)²)
• 1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 12. (sin² x)/(1+cos x)
• 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 24. (2cos x - 3sin x)/(6cos x + 4sin x)

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