निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log (1+\tan x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

चरण 1: दिए गए समाकल को $$I$$ के बराबर मानिए

सबसे पहले, दिए गए निश्चित समाकल को $$I$$ के बराबर मान लेते हैं। यह हमें गणना के दौरान समाकल को संदर्भित करने में मदद करेगा।

चरण 2: निश्चित समाकल के गुणधर्म का प्रयोग करें

हम निश्चित समाकल के एक महत्वपूर्ण गुणधर्म का उपयोग करेंगे, जो कहता है कि $$\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$$ । यहाँ, $$a = \frac{\pi}{4}$$ है।

चरण 3: गुणधर्म लागू करें और सरल करें

अब, हम $$\tan(\frac{\pi}{4}-x)$$ के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं, जो $$\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$$ है। इसे समाकल में प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर हमें समीकरण (2) प्राप्त होता है।

चरण 4: समीकरणों को जोड़ें और हल करें

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर, हम लघुगणक के गुणधर्म $$\log A + \log B = \log (AB)$$ का उपयोग करते हैं। इससे समाकल सरल होकर $$\log 2$$ का समाकल बन जाता है, जिसे हल करना आसान है। अंत में, $$I$$ के लिए हल करने पर हमें अंतिम उत्तर प्राप्त होता है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• ∫_0^((π)/(2)) √(sin) cos^5 d का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(2)) (sin x-cos x)/(1+sin x cos x) d x का मान ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(2)) cos² x dx का मान ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलन ∫_(π)/(6)^((π)/(4)) cosec x dx का मान ज्ञात कीजिए।
• निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए। (ii) ∫ (dx)/(3x²+13x-10)
• 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 31. (sin x)/((1+cos x)²)
• 1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 12. (sin² x)/(1+cos x)
• 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 24. (2cos x - 3sin x)/(6cos x + 4sin x)

पूरा अध्याय देखें →