$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin\phi} \cos^5\phi d\phi$ का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए।

चरण 1: अभिव्यक्ति को पुनर्व्यवस्थित करें

दिए गए समाकल को हल करने के लिए, हम $$\cos^5\phi$$ को $$\cos^4\phi \cos\phi$$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं। यह हमें प्रतिस्थापन के लिए $$\cos\phi d\phi$$ पद प्राप्त करने में मदद करेगा।

चरण 2: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करें

हम जानते हैं कि $$\cos^2\phi = 1 - \sin^2\phi$$ । इसलिए, हम $$\cos^4\phi$$ को $$(1 - \sin^2\phi)^2$$ के रूप में लिख सकते हैं।

चरण 3: प्रतिस्थापन करें

अब हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $$u = \sin\phi$$ , तो $$du = \cos\phi d\phi$$ होगा। हमें समाकलन की सीमाओं को भी बदलना होगा। जब $$\phi = 0$$ , तो $$u = \sin(0) = 0$$ । जब $$\phi = \frac{\pi}{2}$$ , तो $$u = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$$ ।

चरण 4: प्रतिस्थापित समाकल को हल करें

प्रतिस्थापन के बाद, समाकल बन जाता है $$\int_0^1 \sqrt{u} (1 - u^2)^2 du$$ । हम $$(1 - u^2)^2$$ का विस्तार करते हैं और $$u^{\frac{1}{2}}$$ से गुणा करते हैं।

चरण 5: समाकलित करें

अब हम प्रत्येक पद को समाकलित करते हैं। समाकलन का सूत्र $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$$ का उपयोग करते हैं।

चरण 6: सीमाओं का मूल्यांकन करें

अब हम ऊपरी सीमा ( $$u=1$$ ) और निचली सीमा ( $$u=0$$ ) पर समाकलित फलन का मूल्यांकन करते हैं और अंतर निकालते हैं।

चरण 7: सरल करें

भिन्न पदों को सरल करने के लिए, हम एक सामान्य हर ज्ञात करते हैं, जो कि $$3 \cdot 7 \cdot 11 = 231$$ है, और फिर जोड़ते और घटाते हैं।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(2)) (sin x-cos x)/(1+sin x cos x) d x का मान ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(4)) log (1+tan x) d x का मान ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(2)) cos² x dx का मान ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलन ∫_(π)/(6)^((π)/(4)) cosec x dx का मान ज्ञात कीजिए।
• निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए। (ii) ∫ (dx)/(3x²+13x-10)
• 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 31. (sin x)/((1+cos x)²)
• 1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 12. (sin² x)/(1+cos x)
• 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 24. (2cos x - 3sin x)/(6cos x + 4sin x)

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