दिए गए समाकल को हल करने के लिए, हम cos^5 को cos^4 cos के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं। यह हमें प्रतिस्थापन के लिए cos d पद प्राप्त करने में मदद करेगा।

दिए गए समाकल को हल करने के लिए, हम cos^5 को cos^4 cos के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं। यह हमें प्रतिस्थापन के लिए cos d पद प्राप्त करने में मदद करेगा।

हम जानते हैं कि cos² = 1 - sin² । इसलिए, हम cos^4 को (1 - sin² )² के रूप में लिख सकते हैं।

अब हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। मान लीजिए u = sin , तो du = cos d होगा। हमें समाकलन की सीमाओं को भी बदलना होगा। जब = 0 , तो u = sin(0) = 0 । जब = (π)/(2) , तो u = sin((π)/(2)) = 1 ।

अब हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। मान लीजिए u = sin , तो du = cos d होगा। हमें समाकलन की सीमाओं को भी बदलना होगा। जब = 0 , तो u = sin(0) = 0 । जब = (π)/(2) , तो u = sin((π)/(2)) = 1 ।

प्रतिस्थापन के बाद, समाकल बन जाता है _0^1 √(u) (1 - u²)² du । हम (1 - u²)² का विस्तार करते हैं और u^{(1)/(2)} से गुणा करते हैं।

प्रतिस्थापन के बाद, समाकल बन जाता है _0^1 √(u) (1 - u²)² du । हम (1 - u²)² का विस्तार करते हैं और u^{(1)/(2)} से गुणा करते हैं।

अब हम प्रत्येक पद को समाकलित करते हैं। समाकलन का सूत्र ∫ x^n dx = {x^{n+1}}{n+1} का उपयोग करते हैं।

अब हम प्रत्येक पद को समाकलित करते हैं। समाकलन का सूत्र ∫ x^n dx = {x^{n+1}}{n+1} का उपयोग करते हैं।

भिन्न पदों को सरल करने के लिए, हम एक सामान्य हर ज्ञात करते हैं, जो कि 3 · 7 · 11 = 231 है, और फिर जोड़ते और घटाते हैं।

भिन्न पदों को सरल करने के लिए, हम एक सामान्य हर ज्ञात करते हैं, जो कि 3 · 7 · 11 = 231 है, और फिर जोड़ते और घटाते हैं।

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin\phi} \cos^5\phi d\phi$ का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: अभिव्यक्ति को पुनर्व्यवस्थित करें

दिए गए समाकल को हल करने के लिए, हम $\cos^5\phi$ को $\cos^4\phi \cos\phi$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं। यह हमें प्रतिस्थापन के लिए $\cos\phi d\phi$ पद प्राप्त करने में मदद करेगा।

Step 2: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करें

हम जानते हैं कि $\cos^2\phi = 1 - \sin^2\phi$ । इसलिए, हम $\cos^4\phi$ को $(1 - \sin^2\phi)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।

Step 3: प्रतिस्थापन करें

अब हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $u = \sin\phi$ , तो $du = \cos\phi d\phi$ होगा। हमें समाकलन की सीमाओं को भी बदलना होगा। जब $\phi = 0$ , तो $u = \sin(0) = 0$ । जब $\phi = \frac{\pi}{2}$ , तो $u = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ ।

Step 4: प्रतिस्थापित समाकल को हल करें

प्रतिस्थापन के बाद, समाकल बन जाता है $\int_0^1 \sqrt{u} (1 - u^2)^2 du$ । हम $(1 - u^2)^2$ का विस्तार करते हैं और $u^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करते हैं।

Step 5: समाकलित करें

अब हम प्रत्येक पद को समाकलित करते हैं। समाकलन का सूत्र $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ का उपयोग करते हैं।

Step 6: सीमाओं का मूल्यांकन करें

अब हम ऊपरी सीमा ( $u=1$ ) और निचली सीमा ( $u=0$ ) पर समाकलित फलन का मूल्यांकन करते हैं और अंतर निकालते हैं।

Step 7: सरल करें

भिन्न पदों को सरल करने के लिए, हम एक सामान्य हर ज्ञात करते हैं, जो कि $3 \cdot 7 \cdot 11 = 231$ है, और फिर जोड़ते और घटाते हैं।