निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

चरण 1: निश्चित समाकल के गुणधर्म का प्रयोग करें

दिए गए समाकल को $$I$$ मान लीजिए। हम निश्चित समाकलनों के गुणधर्म $$\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$$ का उपयोग करेंगे।

चरण 2: गुणधर्म लागू करें

गुणधर्म लागू करने पर, हम $$x$$ को $$\frac{\pi}{2}-x$$ से प्रतिस्थापित करते हैं। हम जानते हैं कि $$\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x$$ और $$\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x$$ ।

चरण 3: सरल करें और समीकरण 2 प्राप्त करें

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हमें एक नया समाकल प्राप्त होता है। इसे समीकरण (2) मान लीजिए।

चरण 4: समीकरण (1) और (2) को जोड़ें

अब, हम समीकरण (1) और समीकरण (2) को जोड़ते हैं। चूंकि समाकल की सीमाएँ और हर समान हैं, हम अंशों को जोड़ सकते हैं।

चरण 5: अंश को सरल करें

अंश में, $$\sin x$$ और $$-\sin x$$ एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, और $$-\cos x$$ और $$\cos x$$ भी एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।

चरण 6: समाकल का मान ज्ञात करें

चूंकि अंश 0 हो जाता है, पूरा समाकल 0 के बराबर हो जाता है। इसलिए, $$2I = 0$$ , जिसका अर्थ है $$I = 0$$ ।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• ∫_0^((π)/(2)) √(sin) cos^5 d का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(4)) log (1+tan x) d x का मान ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(2)) cos² x dx का मान ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलन ∫_(π)/(6)^((π)/(4)) cosec x dx का मान ज्ञात कीजिए।
• निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए। (ii) ∫ (dx)/(3x²+13x-10)
• 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 31. (sin x)/((1+cos x)²)
• 1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 12. (sin² x)/(1+cos x)
• 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 24. (2cos x - 3sin x)/(6cos x + 4sin x)

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