दिए गए समाकल को I मान लीजिए। हम निश्चित समाकलनों के गुणधर्म ∫_(0)^(a) f(x) d x = ∫_(0)^(a) f(a-x) d x का उपयोग करेंगे।

दिए गए समाकल को I मान लीजिए। हम निश्चित समाकलनों के गुणधर्म ∫_(0)^(a) f(x) d x = ∫_(0)^(a) f(a-x) d x का उपयोग करेंगे।

गुणधर्म लागू करने पर, हम x को (π)/(2)-x से प्रतिस्थापित करते हैं। हम जानते हैं कि sin (π)/(2)-x = cos x और cos (π)/(2)-x = sin x ।

गुणधर्म लागू करने पर, हम x को (π)/(2)-x से प्रतिस्थापित करते हैं। हम जानते हैं कि sin (π)/(2)-x = cos x और cos (π)/(2)-x = sin x ।

निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

Get the complete, step-by-step math solution for: "निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_(0)^((π)/(2)) (sin x-cos x)/(1+sin x cos x) d x का मान ज्ञात कीजिए।". Powered by SolveForX AI math tutor.

Step-by-Step Solution

Step 1: निश्चित समाकल के गुणधर्म का प्रयोग करें

दिए गए समाकल को $I$ मान लीजिए। हम निश्चित समाकलनों के गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करेंगे।

Step 2: गुणधर्म लागू करें

गुणधर्म लागू करने पर, हम $x$ को $\frac{\pi}{2}-x$ से प्रतिस्थापित करते हैं। हम जानते हैं कि $\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x$ और $\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x$ ।

Step 3: सरल करें और समीकरण 2 प्राप्त करें

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हमें एक नया समाकल प्राप्त होता है। इसे समीकरण (2) मान लीजिए।

Step 4: समीकरण (1) और (2) को जोड़ें

अब, हम समीकरण (1) और समीकरण (2) को जोड़ते हैं। चूंकि समाकल की सीमाएँ और हर समान हैं, हम अंशों को जोड़ सकते हैं।

Step 5: अंश को सरल करें

अंश में, $\sin x$ और $-\sin x$ एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, और $-\cos x$ और $\cos x$ भी एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।

Step 6: समाकल का मान ज्ञात करें

चूंकि अंश 0 हो जाता है, पूरा समाकल 0 के बराबर हो जाता है। इसलिए, $2I = 0$ , जिसका अर्थ है $I = 0$ ।