निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने के लिए, हमें पहले {cosec} x के अनिश्चित समाकलन का सूत्र जानना होगा। {cosec} x का समाकलन log | {cosec} x - cot x| होता है।

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने के लिए, हमें पहले {cosec} x के अनिश्चित समाकलन का सूत्र जानना होगा। {cosec} x का समाकलन log | {cosec} x - cot x| होता है।

अब हम x के स्थान पर ऊपरी सीमा (π)/(4) और निचली सीमा (π)/(6) को प्रतिस्थापित करेंगे।

हम जानते हैं कि {cosec} (π)/(4) = √(2) , cot (π)/(4) = 1 , {cosec} (π)/(6) = 2 और cot (π)/(6) = √(3) ।

लघुगणक के गुणधर्म log a - log b = log (a)/(b) का उपयोग करके, हम व्यंजक को सरल कर सकते हैं।

हर का परिमेयकरण करने के लिए, हम हर के संयुग्मी (2 + √(3)) से अंश और हर दोनों को गुणा करेंगे। इससे हर 1 हो जाएगा।

हर का परिमेयकरण करने के लिए, हम हर के संयुग्मी (2 + √(3)) से अंश और हर दोनों को गुणा करेंगे। इससे हर 1 हो जाएगा।

निश्चित समाकलन $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{cosec} x dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: निश्चित समाकलन का सूत्र लागू करें

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने के लिए, हमें पहले $\operatorname{cosec} x$ के अनिश्चित समाकलन का सूत्र जानना होगा। $\operatorname{cosec} x$ का समाकलन $\log |\operatorname{cosec} x - \cot x|$ होता है।

Step 2: सीमाओं के साथ समाकलन करें

अब हम समाकलन के सूत्र का उपयोग करके निश्चित समाकलन को सीमाओं के साथ लिखेंगे। ऊपरी सीमा $\frac{\pi}{4}$ और निचली सीमा $\frac{\pi}{6}$ है।

Step 3: मानों को प्रतिस्थापित करें

अब हम $x$ के स्थान पर ऊपरी सीमा $\frac{\pi}{4}$ और निचली सीमा $\frac{\pi}{6}$ को प्रतिस्थापित करेंगे।

Step 4: त्रिकोणमितीय मानों की गणना करें

हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} \frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$ , $\cot \frac{\pi}{4} = 1$ , $\operatorname{cosec} \frac{\pi}{6} = 2$ और $\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$ ।

Step 5: मानों को प्रतिस्थापित और सरल करें

अब हम पिछले चरण में गणना किए गए त्रिकोणमितीय मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे।

Step 6: लघुगणक के गुणधर्मों का उपयोग करें

लघुगणक के गुणधर्म $\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$ का उपयोग करके, हम व्यंजक को सरल कर सकते हैं।

Step 7: हर का परिमेयकरण करें

हर का परिमेयकरण करने के लिए, हम हर के संयुग्मी $(2 + \sqrt{3})$ से अंश और हर दोनों को गुणा करेंगे। इससे हर $1$ हो जाएगा।