निश्चित समाकलन $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{cosec} x dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

चरण 1: निश्चित समाकलन का सूत्र लागू करें

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने के लिए, हमें पहले $$\operatorname{cosec} x$$ के अनिश्चित समाकलन का सूत्र जानना होगा। $$\operatorname{cosec} x$$ का समाकलन $$\log |\operatorname{cosec} x - \cot x|$$ होता है।

चरण 2: सीमाओं के साथ समाकलन करें

अब हम समाकलन के सूत्र का उपयोग करके निश्चित समाकलन को सीमाओं के साथ लिखेंगे। ऊपरी सीमा $$\frac{\pi}{4}$$ और निचली सीमा $$\frac{\pi}{6}$$ है।

चरण 3: मानों को प्रतिस्थापित करें

अब हम $$x$$ के स्थान पर ऊपरी सीमा $$\frac{\pi}{4}$$ और निचली सीमा $$\frac{\pi}{6}$$ को प्रतिस्थापित करेंगे।

चरण 4: त्रिकोणमितीय मानों की गणना करें

हम जानते हैं कि $$\operatorname{cosec} \frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$$ , $$\cot \frac{\pi}{4} = 1$$ , $$\operatorname{cosec} \frac{\pi}{6} = 2$$ और $$\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$$ ।

चरण 5: मानों को प्रतिस्थापित और सरल करें

अब हम पिछले चरण में गणना किए गए त्रिकोणमितीय मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे।

चरण 6: लघुगणक के गुणधर्मों का उपयोग करें

लघुगणक के गुणधर्म $$\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$$ का उपयोग करके, हम व्यंजक को सरल कर सकते हैं।

चरण 7: हर का परिमेयकरण करें

हर का परिमेयकरण करने के लिए, हम हर के संयुग्मी $$(2 + \sqrt{3})$$ से अंश और हर दोनों को गुणा करेंगे। इससे हर $$1$$ हो जाएगा।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• ∫_0^((π)/(2)) √(sin) cos^5 d का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(2)) (sin x-cos x)/(1+sin x cos x) d x का मान ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(4)) log (1+tan x) d x का मान ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(2)) cos² x dx का मान ज्ञात कीजिए।
• निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए। (ii) ∫ (dx)/(3x²+13x-10)
• 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 31. (sin x)/((1+cos x)²)
• 1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 12. (sin² x)/(1+cos x)
• 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 24. (2cos x - 3sin x)/(6cos x + 4sin x)

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