सिद्ध कीजिए कि integral from 0 to pi/2 of sqrt(sin(x)) / (sqrt(sin(x)) + sqrt(cos(x))) dx = pi / 4.

चरण 1: दिए गए समाकल को $I$ मानिए

हम दिए गए निश्चित समाकल को $I$ के बराबर मानते हैं। यह हमें समाकल को हल करने के लिए आगे बढ़ने में मदद करेगा।

चरण 2: निश्चित समाकल के गुण का प्रयोग करें

हम निश्चित समाकल के गुण $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करते हैं। यहाँ, $a = \pi/2$ है।

चरण 3: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करें

हम जानते हैं कि $\sin(\pi/2 - x) = \cos(x)$ और $\cos(\pi/2 - x) = \sin(x)$ । इन सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम समाकल को सरल बनाते हैं और इसे समीकरण 2 के रूप में चिह्नित करते हैं।

चरण 4: समीकरण 1 और 2 को जोड़ें

हम समीकरण 1 और समीकरण 2 को जोड़ते हैं। चूंकि दोनों समाकल की सीमाएँ समान हैं और हर भी समान हैं, हम उन्हें एक साथ जोड़ सकते हैं।

चरण 5: समाकल को सरल करें और हल करें

अंश और हर समान होने के कारण, समाकल के अंदर का व्यंजक $1$ हो जाता है। $1$ का समाकल $x$ होता है। हम ऊपरी और निचली सीमाएँ लागू करते हैं और $I$ के लिए हल करते हैं।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• ∫_0^((π)/(2)) √(sinφ) cos^5φ dφ का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(2)) (sin x-cos x)/(1+sin x cos x) d x का मान ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(4)) log (1+tan x) d x का मान ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(2)) cos² x dx का मान ज्ञात कीजिए।
• निश्चित समाकलन ∫_(π)/(6)^((π)/(4)) cosec x dx का मान ज्ञात कीजिए।
• निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए। (ii) ∫ (dx)/(3x²+13x-10)
• 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 31. (sin x)/((1+cos x)²)
• 1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 12. (sin² x)/(1+cos x)

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