Solved maths problems — page 2
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- A circular track has a radius of 21 m. Find its circumference. (Use pi = 22/7.)
The circumference of the circular track is 132 m.
- A square of side 8 cm has a smaller square of side 3 cm cut out from one corner. Sketch the resulting shape and find the area of the remaining figure.
The area of the remaining figure is 55 cm².
- एक चतुर्भुज आकार के खेत का विकर्ण 24 m है और शेष सम्मुख शीर्षों से इस विकर्ण पर खींचे गए लंब 8 m एवं 13 m हैं। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
खेत का क्षेत्रफल 252 m² है।
- द्विपदों को गुणा कीजिए: (i) (2x+5) और (4x-3) (ii) (y-8) और (3y-4) (iii) (2.5l-0.5m) और (2.5l+0.5m) (iv) (a+3b) और (x+5) (v) (2pq+3q²) और (3pq-2q²) (vi) ((3)/(4)
(i) 8x² + 14x - 15 (ii) 3y² - 28y + 32 (iii) 6.25l² - 0.25m² (iv) ax + 5a + 3bx + 15b (v) 6p²q² + 5pq³ - 6q^4 (vi) 3a^4 + 7a²b² - 8b^4
- एक खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4224 cm² है। इसे इसकी ऊँचाई के अनुदिश काटकर 32 cm चौड़ाई की एक आयताकार चादर बनाई जाती है। आयताकार चादर का परिमाप ज्ञात क
आयताकार चादर का परिमाप 328 cm है।
- ऐसे घना आकार बक्सों का आयतन ज्ञात कीजिए जिनकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः निम्नलिखित हैं: (i) 5a, 3a², 7a^4 (ii) 2p, 4q, 8r (iii) xy, 2x²y, 2xy² (iv) a, 2b, 3
(i) 105a^7 (ii) 64pqr (iii) 4x^4y^4 (iv) 6abc
- निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक क्या होंगे? (i) 81 (ii) 272 (iii) 799 (iv) 3853 (v) 1234 (vi) 26387 (vii) 52698 (viii) 99880 (ix) 12796 (x) 55555
प्रत्येक संख्या के वर्गों के इकाई अंक इस प्रकार हैं: (i) 81 के वर्ग का इकाई अंक 1 है। (ii) 272 के वर्ग का इकाई अंक 4 है। (iii) 799 के वर्ग का इकाई अंक 1 है। (iv
- दिए हुए बहुपद को दिए हुए एकपदी से भाग दीजिए: (i) (5x² - 6x) ÷ 3x (ii) (3y^8 - 4y^6 + 5y^4) ÷ y^4 (iii) 8(x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³) ÷ 4x²y²z² (iv) (x³ + 2x² + 3x
(i) (5x - 6)/(3) (ii) 3y^4 - 4y² + 5 (iii) 2(x + y + z) (iv) (x²)/(2) + x + (3)/(2) (v) q³ - p³
- निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए: (i) 7x - 42 (ii) 6p - 12q (iii) 7a² + 14a (iv) - 16 z + 20 z³ (v) 20 l² m + 30 a l m (vi) 5 x² y - 15 xy² (vii) 10 a² - 15
(i) 7(x - 6) (ii) 6(p - 2q) (iii) 7a(a + 2) (iv) 4z(-4 + 5z²) (v) 10lm(2l + 3a) (vi) 5xy(x - 3y) (vii) 5(2a² - 3b² + 4c²) (viii) -4a(a - b + c) (ix) xyz(x + y +
- एक वृत्ताकार तश्तरी (disc) की परिधि ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 14 cm है। प्रयोग करें π = (22)/(7)।
वृत्ताकार तश्तरी की परिधि 88 cm है।
- रिक्त स्थान का मान ज्ञात कीजिए: (a) आधार 20 cm, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 246 cm², ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (b) ऊँचाई 15 cm, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 154.5 cm²
(a) ऊँचाई = 12.3 cm (b) आधार = 10.3 cm (c) आधार = 5.8 cm (d) ऊँचाई = 1.05 cm
- यदि एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 24 cm² और आधार 4 cm हो तो ऊँचाई ' x ' ज्ञात कीजिए।
समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई 6 cm है।
- निम्नलिखित के समतुल्य चार परिमेय संख्याएँ लिखिए: (i) (-2)/(7) (ii) (5)/(-3) (iii) (4)/(9)
(i) (-4)/(14), (-6)/(21), (-8)/(28), (-10)/(35) (ii) (10)/(-6), (15)/(-9), (20)/(-12), (25)/(-15) (iii) (8)/(18), (12)/(27), (16)/(36), (20)/(45)
- सतपाल किसी स्थान P से पूर्व दिशा में 2(2)/(3) km चलता है और फिर वहाँ से पश्चिम दिशा में 1(5)/(7) km चलता है। अब वह P से कहाँ स्थित होगा?
सतपाल अब P से पूर्व दिशा में (20)/(21) km की दूरी पर स्थित होगा।
- 8. संकेतों >, <, और = में से सही संकेत चुन कर रिक्त स्थानों को भरिए: (i) (-5)/(7) (2)/(3) (ii) (-4)/(5) (-5)/(7) (iii) (-7)/(8) (14)/(-16) (iv) (-8)/(5) (-7)/(4
(i) (-5)/(7) < (2)/(3) (ii) (-4)/(5) < (-5)/(7) (iii) (-7)/(8) = (14)/(-16) (iv) (-8)/(5) > (-7)/(4) (v) (1)/(-3) < (-1)/(4) (vi) (5)/(-11) = (-5)/(11) (vii) 0
- उदाहरण 5 निम्नलिखित प्रतिरूप (Pattern) में, चार और संख्याएँ लिखिए: (-1)/(3), (-2)/(6), (-3)/(9), (-4)/(12),
पैटर्न में अगली चार संख्याएँ हैं: (-5)/(15), (-6)/(18), (-7)/(21), (-8)/(24)
- प्रयास कीजिए निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ हैं? (i) (-2)/(3) (ii) (5)/(7) (iii) (3)/(-5) (iv) 0 (v) (6)/(11) (vi) (-2)/(-9)
ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ हैं: (i) (-2)/(3) और (iii) (3)/(-5)
- 7. एक आयत की लंबाई 40 cm है तथा उसका एक विकर्ण 41 cm है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
आयत का परिमाप 98 cm है।
- त्रिभुज PQR में कोण Q = 25^° तथा कोण R = 65^° हैं। निम्नलिखित में कौन सा कथन सत्य है? (i) PQ² + QR² = RP² (ii) PQ² + RP² = QR² (iii) RP² + QR² = PQ²
सही कथन (ii) PQ² + RP² = QR² है।
- उदाहरण 6 ABC का C एक समकोण है। यदि AC = 5 cm तथा BC = 12 cm, तब AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।
AB = 13 cm
- उदाहरण 4 एक त्रिभुज की दो भुजाओं की माप 6 cm तथा 8 cm हैं। इसकी तीसरी भुजा की माप किन दो संख्याओं के बीच होगी?
तीसरी भुजा की माप 2 cm और 14 cm के बीच होगी।
- 2. लिखिए: (i) PQR के शीर्ष Q की सम्मुख भुजा (ii) LMN की भुजा LM का सम्मुख कोण (iii) RST की भुजा RT का सम्मुख शीर्ष
(i) PQR के शीर्ष Q की सम्मुख भुजा PR है। (ii) LMN की भुजा LM का सम्मुख कोण N है। (iii) RST की भुजा RT का सम्मुख शीर्ष S है।
- निम्नलिखित समीकरणों को सामान्य कथनों के रूप में बदलिए: (i) x - 5 = 9 (ii) 5p = 20 (iii) 3n + 7 = 1 (iv) (m)/(5) - 2 = 6
(i) x में से 5 घटाने पर 9 प्राप्त होता है। (ii) p का 5 गुना 20 है। (iii) n के 3 गुने में 7 जोड़ने पर 1 प्राप्त होता है। (iv) m को 5 से विभाजित करने के बाद उसमें
- एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ADC = BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB · CD है।
यह सिद्ध हो गया है कि CA² = CB · CD है।
- इन व्यंजकों को सरल कीजिए तथा इनके मान ज्ञात कीजिए, जब x = 3, a = -1 और b = -2 है: (i) 3x - 5 - x + 9 (ii) 2 - 8x + 4x + 4 (iii) 3a + 5 - 8a + 1 (iv) 10 - 3b - 4
(i) 10 (ii) -6 (iii) 11 (iv) 22 (v) -8
- निम्नलिखित में से प्रत्येक को केवल अभाज्य गुणनखंडों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए: (i) 108 × 192 (ii) 270 (iii) 729 × 64 (iv) 768
(i) 2^8 × 3^4 (ii) 2 × 3³ × 5 (iii) 2^6 × 3^6 (iv) 2^8 × 3
- 1. निम्नलिखित भिन्नों की तुलना कीजिए और अपने उत्तर का कारण बताइए— a. (8)/(3), (5)/(2) b. (4)/(9), (3)/(7) c. (7)/(10), (9)/(14) d. (12)/(5), (8)/(5). (9)/(4), (
a. (8)/(3) > (5)/(2) b. (4)/(9) > (3)/(7) c. (7)/(10) > (9)/(14) d. (12)/(5) > (8)/(5) e. (9)/(4) < (5)/(2)
- निम्नलिखित भिन्नों को मिश्रित भिन्न के रूप में लिखिए (उदाहरणार्थ, (9)/(2) = 4(1)/(2)) a. (9)/(2) b. (9)/(5) c. (21)/(19) d. (47)/(9). (12)/(11) f. (19)/(6)
a. (9)/(2) = 4(1)/(2) b. (9)/(5) = 1(4)/(5) c. (21)/(19) = 1(2)/(19) d. (47)/(9) = 5(2)/(9) e. (12)/(11) = 1(1)/(11) f. (19)/(6) = 3(1)/(6)
- एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं: (i) (1)/(4), -1 (ii) √2, (1)/(3) (iii) 0, √5 (iv) 1, 1 (v) -(1)/(4), (
(i) 4x² - x - 4 (ii) 3x² - 3√2x + 1 (iii) x² + √5 (iv) x² - x + 1 (v) 4x² + x + 1 (vi) x² - 4x + 1
- मान लें E तथा F दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(E)=(3)/(5), P(F)=(3)/(10) और P(E F)=(1)/(5) तब क्या E तथा F स्वतंत्र हैं?
नहीं, घटनाएँ E तथा F स्वतंत्र नहीं हैं।
- निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z=5x+3y का अधिकतमीकरण कीजिए: 3x+5y 15, 5x+2y 10, x 0, y 0
अधिकतम मान Z = (235)/(19) बिंदु ((20)/(19), (45)/(19)) पर।
- रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए: r = ( i + 2 j +3 k) + ( i-3 j +2 k) और r = 4 i +5 j +6 k + (2 i + 3 j + k)
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी (3√19)/(19) है।
- निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z=x+y का अधिकतमीकरण कीजिए: x-y≤-1, -x+y 0, x,y 0
दिए गए अवरोधों के अंतर्गत Z=x+y का अधिकतम मान मौजूद नहीं है क्योंकि व्यवहार्य क्षेत्र असीमित है।
- निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत Z = 4x + y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए: x + y ≤ 50 3x + y ≤ 90 x ≥ 0, y ≥ 0
अधिकतम मान 120 है।
- निम्नलिखित दी गई रेखाओं l_1 और l_2: r = i + 2 j - 4 k + (2 i + 3 j + 6 k) और r = 3 i + 3 j - 5 k + (2 i + 3 j + 6 k) के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
दो समानांतर रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी (√293)/(7) है।
- एक रेखा का कार्तीय समीकरण (x-5)/(3) = (y+4)/(7) = (z-6)/(2) है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
रेखा का सदिश समीकरण है: r = (5 i - 4 j + 6 k) + (3 i + 7 j + 2 k)
- यदि दो सदिशों a और b के बीच का कोण θ है तो | a· b|=| a× b| जब θ बराबर है: (A) 0 (B) (π)/(4) (C) (π)/(2) (D) π
(π)/(4)
- यदि बिंदुओं A, B, C और D, के स्थिति सदिश क्रमशः i + j + k, 2 i + 5 j, 3 i + 2 j - 3 k और i - 6 j - k है, तो सरल रेखाओं AB तथा CD के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। निगम
सरल रेखाओं AB तथा CD के बीच का कोण π रेडियन ( 180^°) है। चूंकि CD = -2 AB, सदिश AB और CD समानांतर हैं, इसलिए रेखाएँ AB और CD संरेख हैं।
- दिया हुआ है कि a· b=0 और a× b= 0। सदिश a और b के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
यदि a· b=0 और a× b= 0 है, तो सदिश a या सदिश b में से कम से कम एक शून्य सदिश होना चाहिए।
- दर्शाइए कि OX, OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक्-कोसाइन कोज्याएँ ± ((1)/(√3), (1)/(√3), (1)/(√3)) हैं।
अतः, OX, OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक्-कोसाइन कोज्याएँ ± ((1)/(√3), (1)/(√3), (1)/(√3)) हैं।
- यदि a = b + c, तब क्या यह सत्य है कि | a|=| b|+| c|? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
नहीं, यह हमेशा सत्य नहीं है कि | a|=| b|+| c|। यह केवल तभी सत्य होता है जब सदिश b और c एक ही दिशा में हों। सामान्य स्थिति में, त्रिभुज असमिका के अनुसार | a| ≤ |
- दर्शाइए कि दो शून्येतर सदिशों a और b के लिए | a| b+| b| a, | a| b-| b| a पर लंब है।
चूंकि (| a| b+| b| a) · (| a| b-| b| a) = 0, इसलिए सदिश | a| b+| b| a और | a| b-| b| a एक दूसरे पर लंब हैं।
- सदिश i + j पर सदिश i - j का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
सदिश i + j पर सदिश i - j का प्रक्षेप 0 है।
- यदि दो सदिश a और b इस प्रकार हैं कि | a|=2, | b|=3 और a · b = 4 तो | a - b| ज्ञात कीजिए।
| a - b| = √5
- यदि शून्येतर सदिश a का परिमाण 'a' है और एक शून्येतर अदिश है तो a एक मात्रक सदिश है यदि (A) = 1 (B) = -1 (C) a = | | (D) a = 1/| |
विकल्प (D) a = 1/| |
- दर्शाइए कि बिंदु A(2 i- j+ k), B( i-3 j-5 k), C(3 i-4 j-4 k) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
चूंकि | BC|² + | CA|² = | AB|² ( 6 + 35 = 41), पाइथागोरस प्रमेय संतुष्ट होता है। इसलिए, बिंदु A(2 i- j+ k), B( i-3 j-5 k), C(3 i-4 j-4 k) एक समकोण त्रिभुज के शी
- मान लीजिए a= i+2 j और b = 2 i + j तब क्या | a|=| b| है? क्या सदिश a और b समान हैं?
हाँ, | a|=| b| है। नहीं, सदिश a और b समान नहीं हैं।
- दिए हुए सदिशों a=2 i- j+2 k और b=- i+ j- k, के लिए, सदिश a+ b के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
सदिश a+ b के अनुदिश मात्रक सदिश (1)/(√2)( i + k) है।
- निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक के लिए सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है। (iii) y = x sin 3x: (d² y)/(dx²) + 9 y -
हाँ, दिया गया फलन y = x sin 3x संगत अवकल समीकरण (d² y)/(dx²) + 9 y - 6 cos 3x = 0 का हल है।
- बिंदु (0, (π)/(4)) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos y d x+cos x sin y d y=0 है।
वक्र का समीकरण |cos x cos y| = (1)/(√2) है।
- दर्शाइए कि वक्रों का कुल, जिनके किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (x²+y²)/(2 x y) है, x²-y²=c x द्वारा प्रदत्त है।
दिए गए अवकल समीकरण का हल x²-y²=c x है, जो वक्रों के कुल को दर्शाता है।
- अवकल समीकरण cos((dy)/(dx)) = a (a R); y = 1 यदि x = 0 के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
अवकल समीकरण का विशिष्ट हल y = x cos^(-1)(a) + 1 है।
- सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन y = √(a² - x²), x (-a, a) संगत अवकल समीकरण x + y (dy)/(dx) = 0 (y ≠ 0) का हल है।
हाँ, दिया गया फलन y = √(a² - x²) संगत अवकल समीकरण x + y (dy)/(dx) = 0 (y ≠ 0) का हल है।
- दीर्घवृत्त (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल का ज्ञात कीजिए।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल π ab है।
- दिए हुए वक्रों एवं रेखाओं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: (i) y = x²; x = 1, x = 2 एवं x -अक्ष (ii) y = x^4; x = 1, x = 5 एवं x -अक्ष
(i) (7)/(3) वर्ग इकाई (ii) (3124)/(5) वर्ग इकाई
- y^()+2 y^()+sin y=0 की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।
दिए गए अवकल समीकरण की कोटि 2 है और घात परिभाषित नहीं है।
- ((d s)/(d t))^(4)+3 s (d² s)/(d t²)=0 की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।
दिए गए अवकल समीकरण की कोटि 2 है और घात 1 है।
- ∫_0^((π)/(2)) √(sin) cos^5 d का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए।
(64)/(231)
- निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(2)) (sin x-cos x)/(1+sin x cos x) d x का मान ज्ञात कीजिए।
∫_0^((π)/(2)) (sin x-cos x)/(1+sin x cos x) d x = 0
- निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए ∫_0^((π)/(4)) log (1+tan x) d x का मान ज्ञात कीजिए।
(π)/(8) log (2)